NGUYÊN HÀM 1/X^2

  -  

1. Nguyên hàm là gì?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) bên trên K trường hợp F"(x) = f(x) với tất cả x ∈ K.

Bạn đang xem: Nguyên hàm 1/x^2

2. Tính chất nguyên hàm

Nguyên hàm tất cả 3 tính chất đặc trưng cần nhớ:

*

2. Bảng nguyên hàm

a) Bảng cách làm nguyên hàm cơ bản

*

b) Bảng nguyên hàm mở rộng

*

3. Các phương pháp tính nguyên hàm

Dạng 1. Nguyên hàm cơ bản

Dạng 2. Sử dụng cách thức ĐỔI BIẾN nhằm tìm nguyên hàm

a) Đổi trở thành tổng quát

Bước 1: lựa chọn t = φ(x). Trong những số đó φ(x) là hàm số cơ mà ta chọn thích hợp.Bước 2: Tính vi phân hai về dt = φ"(x)dxBước 3: thể hiện f(x)dx = g<φ(x)>φ"(x)dx = g(t)dt.Bước 4: lúc ấy $I = int fleft( x ight)dx $ $ = int gleft( t ight)dt $ $ = Gleft( t ight) + C$

Ví dụ: search nguyên hàm của hàm số $I = int frac1xsqrt ln x + 1 dx $

Hướng dẫn giải

Bước 1: lựa chọn $t = sqrt ln x + 1 Rightarrow t^2 = ln x + 1$Bước 2: Tính vi phân nhì về dt = – 3sinx.dxBước 3: bộc lộ $int fleft( x ight)dx = – frac13int frac1t.dt $Bước 4: khi ấy $I = – frac13ln left| t ight| + C$ $ = – frac13ln left| 1 + 3cos x ight| + C$

b) Đổi biến dạng 1

*

c) Đổi biến tấu 2

*

Dạng 3. Nguyên hàm từng phần

*

Nguyên tắc chung để tại vị u với dv: kiếm được v thuận lợi và ∫v.du tính được

Nhấn mạnh: lắp thêm tự ưu tiên khi chọn đặt u: “Nhất lô, nhị đa, tam lượng, tứ mũ” (hàm lôgarit, hàm đa thức, hàm vị giác, hàm mũ).

Ví dụ: tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.e2x

Hướng dẫn giải

Bước 1: Đặt $left{ eginarrayl u = ln left( 2x ight)\ dv = x.dx endarray ight. Rightarrow left{ eginarrayl du = frac1x\ v = fracx^22 endarray ight.$

Bước 2: Ta thấy $Fleft( x ight) = int fleft( x ight) dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – int frac1x.fracx^22 dx$ $ = fracx^22.ln left( 2x ight) – fracx^24 + C$ $ = fracx^22.left( ln left( 2x ight) – frac12 ight) + C$

Dạng 4. Cách tính nguyên hàm sử dụng máy tính

Cho nguyên hàm $int fleft( x ight)dx $ = F(x) + C. Hãy search f(x) hoặc F(x)

Hướng dẫn

Để giải, mình đang hướng dẫn phương pháp bấm laptop nguyên hàm nhanh theo 3 bước sau:

Bước 1: dìm shift $fracddxleft( Fleft( x ight) ight)_x = X – fleft( X ight)$

Bước 2: nhấn phím Calc nhập X = 2.5

Bước 3: Đánh giá nghiệm

Nếu tác dụng bằng 0 (gần bởi 0 ) thì đó là đáp án bắt buộc chọn

Ví dụ: Tìm tất cả nghiệm của hàm số f(x) = $frac12x + 3$ là

A. $frac12.lnleft| 2x + 3 ight| + C$

B. $frac12.lnleft( 2x + 3 ight) + C$

C. Ln|2x + 3| + C

D. $frac1ln 2.$ln|2x + 3| + C

Hướng dẫn bấm trang bị tính

Bước 1: Nhập vào máy tính casio $fracddxleft( frac12.ln left( ight) ight) – frac12x + 3$

Bước 2: CALC X = -2

Lưu ý: Trong công dụng A cùng C nếu đến X = 2 thì phần đa cho công dụng là 0. Vậy khi có trị tuyệt vời nhất thì cho X một giá bán trị đến biểu thức vào trị tuyệt đối âm.

Kết luận: Chọn đáp án A.

Xem thêm: " Ta Đi Trọn Kiếp Con Người Cũng Không Đi Hết Mấy Lời Mẹ Ru, Ta Đi Trọn Kiếp Con Người

Dạng 5. Tính nguyên hàm của hàm số

Tìm nguyên hàm dạng $left< eginarrayl I = int P(x)sin axdx \ I = int P(x)c mosaxdx endarray ight.$ với $P(x)$ là một đa thứcTa lựa lựa chọn 1 trong hai phương pháp sau:

Cách 1: thực hiện nguyên hàm từng phần, tiến hành theo quá trình sau:

Bước 1: Đặt: $left{ eginarrayl u = P(x)\ dv = left< eginarrayl mathop m s olimits minaxdx\ mcosaxdx endarray ight. endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = P"(x)dx\ v = left< eginarrayl frac – 1ac mosax\ frac m1 masin ax endarray ight. endarray ight.$Bước 2: cầm cố vào công thức nguyên hàm từng phần.Bước 3: thường xuyên thủ tục như bên trên ta vẫn khử được bậc của đa thức.

Xem thêm: Trung Bình 1 Người Dùng Bao Nhiêu Khối Nước 1 Tháng ? 1 Khối Nước Bao Nhiêu Tiền 2022

Cách 2: Sử dụng phương thức hệ số bất định, triển khai theo công việc sau:

Bước 1: Ta có: $I = int P(x)c mosaxdx $ $ m = A(x)sinax + B(x)cosax + C$ $(1)$, trong những số ấy $A(x)$ cùng $B(x)$ là các đa thức thuộc bậc với $P(x).$ Bước 2: rước đạo hàm nhì vế của $(1)$: $P(x)c mosax$ $ m = A"(x)cosax – A(x)a m.sinax$ $ m + B"(x)sinax + aB(x)cosax.$Bước 3: Sử dụng phương thức hệ số biến động ta xác minh được $A(x)$ và $B(x).$

Nhận xét: nếu như bậc của đa thức to hơn $3$ thì giải pháp 1 trầm trồ cồng kềnh, vì lúc đó ta thực hiện số lần nguyên hàm từng phần bởi với số bậc của đa thức, cho nên vì vậy ta đi đến nhận định như sau:

Nếu bậc của đa thức nhỏ dại hơn hoặc bởi $2$: Ta áp dụng cách 1.Nếu bậc của đa thức to hơn hoặc bởi $3$: Ta sử dụng cách 2.

Ví dụ: Tìm nguyên hàm $int xsin ^2xdx .$

Giải

Ta có: $I = int xleft( frac1 – c mos2x2 ight)dx $ $ = frac12int xdx – frac12int xcos 2xdx $ $ = frac14x^2 – frac12J$ $(1).$

Tính: $J = int xcos 2xdx .$

Đặt: $left{ eginarrayl u = x\ dv = c mos2xdx endarray ight.$ $ o left{ eginarrayl du = dx\ v = frac12sin 2x endarray ight.$ $ Rightarrow J = fracx2sin 2x – frac12int sin 2xdx $ $ = fracx2sin 2x + frac14c mos2x + C.$

Thay vào $(1)$: $I = frac14x^2 – frac12left( fracx2sin 2x + frac14c mos2x ight)$ $ = frac14left( x^2 – xsin 2x – frac12c mos2x ight) + C.$

3. Bài bác tập nguyên hàm

Bài tập 2: Tìm nguyên hàm $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx .$

Giải

Theo nhấn xét trên, ta sử dụng phương pháp hệ số bất định. Ta có: $I = int left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minxdx $ $ = left( a_1x^3 + b_1x^2 + c_1x + d_1 ight)c mosx$ $ m + left( a_2x^3 + b_2x^2 + c_2x + d_2 ight)mathop m s olimits minx$ $(1).$

Lấy đạo hàm hai vế của $(1)$:

$ Leftrightarrow left( x^3 – x^2 + 2x – 3 ight)mathop m s olimits minx$ $ m = < ma_ m2x^3 + left( 3a_1 + b_2 ight)x^2$ $ + left( 2b_1 + c_2 ight)x + c_1 + d_2 m>cosx$$ – < ma_ m1x^3 – left( 3a_2 – b_1 ight)x^2$ $ – left( 2b_2 – c_1 ight)x + c_2 – d_1>sin x$ $(2).$

Đồng duy nhất thức ta được: $left{ eginarrayl a_2 = 0\ 3a_1 + b_2 = 0\ 2b_1 + c_2 = 0\ c_1 + d_2 = 0 endarray ight.$ và $left{ eginarrayl – a_1 = 1\ 3a_2 – b_1 = – 1\ 2b_2 – c_1 = 2\ – c_2 + d_1 = – 3 endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarrayl a_1 = – 1;a_2 = 0\ b_1 = 1;b_2 = 3\ c_1 = 4;c_2 = – 2\ d_1 = 1;d_2 = – 4 endarray ight.$

Khi đó: $I = left( – x^3 + x^2 + 4x + 1 ight)c mosx$ $ m + left( m3 mx^ m2 – 2x + 4 ight)mathop m s olimits minx + C.$